Juegos con números
Por Santiago Calviño, exprofesor de Matemáticas del I.E.E.S Nuestra Señora del Pilar.
Hoy los juegos los tenemos en el teléfono móvil, y si necesitamos una calculadora, también, además de muchas otras utilidades. Pero la gente ha jugado y calculado siempre, incluso sin móviles ni calculadoras.
Nos interesa aquí un tipo de juegos llamados juegos con números, o de “piensa un número”, porque tenían una doble finalidad: entretener y sorprender, además de ejercitar a los jugadores en los algoritmos de las operaciones y el cálculo mental. No debemos olvidar que alguno de estos juegos es muy antiguo, y los cálculos entonces eran laboriosos.
Vamos a empezar por uno que aparece recogido en un libro medieval titulado De Arithmeticis Prepositionibus y atribuido al monje británico Beda el Venerable. Dice, adaptado a nuestro propósito, así:
Piensa un número. Multiplícalo por 3. Descompón el resultado en dos sumandos enteros: éstos deben ser iguales, si el resultado es par, o consecutivos, si es impar. Coge uno de los sumandos iguales, o el mayor de los consecutivos, según el caso, y multiplícalo otra vez por 3. Divide el resultado obtenido entre 9. Ahora dime el cociente y si el resto de la división es cero, o no.
Entonces el adivinador procede así: si el resto de la división es cero, el cociente multiplicado por 2 es el número pensado; si el resto no es cero, el doble del cociente más 1 es el número pensado.
Vemos un ejemplo: pensamos el 13, el cálculo será:
13×3 = 39 = 20 + 19; 20×3 = 60; 60:9, cociente = 6 y resto = 6
Al adivinador le decimos que el cociente es 6 y el resto no es cero, entonces determina el número pensado: 2×6 + 1 =13.
Vamos a desvelar cómo funciona el juego. El número pensado es a,
Si {1º) 3a es par, a par, a=2n, y 3a=6n=3n+3n 2º) 3a es impar, a impar, a=2n-1 y 3a=3(2n-1)=6n-3=3n-1+3n-2
Multiplicamos uno de los sumandos por 3 y dividimos por 9,
{1º) 3·3n=9n, 9n:9=n, el número buscado es 2n=a 2º) 3(3n-1)=9n-3, 9n-3=9n-9+6=9(n-1)+6, dividido entre 9 da de resto 6 y cociente n-1, el número buscado es 2(n-1)+1=2n-2+1=2n-1=a
Otros juegos son más sencillos. Por ejemplo, piensa un número, multiplícalo por 5, añade 6 al resultado; lo obtenido multiplícalo por 4 y añádele 9. Multiplica finalmente por 5 y dime el resultado.
A ese resultado final le restamos 165 y luego dividimos por 100 para obtener el número pensado. Suponiendo que el número es a, la secuencia que explica el juego es la siguiente:
a, 5a, 5a+6, 20a+24, 20a+33, 100a+165
Una versión más sencilla es ésta: piensa un número, multiplícalo por 5; súmale 12 al resultado; multiplica éste por 10 y a lo obtenido añádele 5; finalmente multiplica por 2 y dime el resultado.
Escribe la secuencia de los cálculos y señala qué cantidad tienes que restar y por cuál dividir para obtener el número pensado.
Algunos juegos no dan el número pensado, pero sí aciertan sorprendentemente sobre algunas cifras del resultado de ciertas operaciones con el número pensado.
Por ejemplo, piensa un número de 3 cifras distintas. Obtén otro cambiando en éste las centenas por las unidades. Al mayor réstale el menor y dime la primera cifra del resultado. Entonces el adivinador sabe que la segunda cifra es siempre 9 y la tercera es 9 menos la 1ª cifra.
Pensamos, por ejemplo, 964, cambiamos las unidades con las centenas, 469, restamos al mayor el menor, 964 – 469 = 495. La primera cifra es 4, la segunda es siempre 9, y la tercera 9-4=5.
Vamos a desentrañar por qué el adivinador procede de esa manera. Un número de 3 cifras tiene la forma:
100a+10b+c
Invertimos las centenas con las unidades y efectuamos la resta de los 2 números de 3 cifras
100a+10b+c 100c+10b+a 100(a-c)+c-a
Modificamos la expresión del resultado de la resta:
100(a-c)+c-a=100(a-c)-(a-c)=100(a-c)-100+100-(a-c)=
=100(a-c-1)+90+10-(a-c)=100(a-c-1)+9·10+10-(a-c)
Este último es un número de 3 cifras en que las decenas siempre son 9 y las unidades, 10-(a-c), y resultan de restar a 9 la primera cifra,
10-(a-c)=9-(a-c-1)
De la misma naturaleza que este acertijo es el siguiente: piensa un número de 3 cifras de modo que la primera sea mayor que la última; escribe otro número de 3 cifras cambiando en el anterior las unidades con las centenas; resta al primer número el segundo y obtendrás un tercer número de 3 cifras, y en éste vuelve a cambiar las unidades con las centenas; suma estos dos últimos. Entonces el adivinador, mirándote a la cara, dirá: te ha dado 1089.
Comprueba que si el número pensado es 100a+10b+c, el resultado, 1089, es independiente de a, b y c. Como en la comprobación del juego anterior, añade -100 +90 +10 al resultado de la resta. Invierte las centenas con las unidades y súmalo al resultado de la resta.
Y terminamos con un juego en el que sí se acierta con el número de 3 cifras pensado. Piensa un número de 3 cifras. Multiplica la 1ª cifra por 2 y al resultado súmale 5. Multiplica el número obtenido por 5. Al total calculado añádele la 2ª cifra del número pensado. Multiplica esta última suma por 10 y a lo que dé añádele la 3ª cifra del número. Dime el resultado de todas las operaciones.
¿Qué número hay que restar al último resultado para hallar el número pensado? Recuerda cómo se expresan los números de 3 cifras.
Hemos planteado algunos ejercicios con estos juegos porque, después de la sorpresa lo importante es averiguar por qué el juego funciona.
Bibliografía:
Dilke, O. A. W. (1991). Mathematics and Mesurament. London: British Museum Publications.
Northop, Eugene P. (1961). Riddles in Mathematics. London: Penguin Books.
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